공학도의 지식 창고

그림 1.7.1 과 같이 mass, spring, damper 에 외력 $ f(t) $ 까지 적용된 강제 감쇠 진동 시스템의 운동 방정식은 다음과 같다. $$ \begin{equation} m \frac{d^2x}{dt^2} + R_m \frac{dx}{dt} + s x = f(t) \tag{1.7.1} \end{equation} $$ 외력 $ f(t) $ 는 보통 삼각 함수로 표현된다. 즉, $ f(t) = F \cos \omega t $ 방정식 (1.7.1) 의 해는 두 부분으로 나뉘는데, 외력과 관계 없이 시스템의 자유 진동과 관계 있는 transient 항과 외력에 의해 나타나는 steady-state 항이다. 여기에서 transient 항은 외력 $ f(t) = 0 $ 으로 놓았을 때의 해이며 ..

식 (2.34) 에서 $ C_P $ 와 $ C_T $ 의 관계는 아래와 같음을 살펴봤다. $$ \begin{equation} C_P = \frac {C_T ^{3/2}}{\sqrt{2}} \tag{2.37} \end{equation} $$ 이는 상단히 단순한 수식으로, 실제 측정값과의 관계는 아래 그림에 잘 나타나 있다. 위의 그림에서 볼 수 있듯이 simple momentum theory 로 예측된 $ C_P $ 와 $ C_T $ 의 관계는 실제 측정값보다 상당히 낮은 결과를 보여주고 있는데, 이것은 simple momentum theory 에서는 점성 효과가 무시되어 있기 때문이다. 하지만 실제 데이터에도 $ C_P \propto C_T^{3/2} $ 인 추세는 잘 나타나 있다.

실제의 진동 문제에서는 마찰력의 존재로 인해 감쇄가 나타나게 된다. 마찰력은 보통 진동 속도에 비례하며 다음과 같이 표현한다. $$ \begin{equation} f_r = - R_m \frac{dx}{dt} \tag{1.6.1} \end{equation} $$ 여기에서 $ R_m $ 은 mechanical resistance 로 단위는 (N·s/m) 이나 (kg/s) 를 갖는다. 마찰까지 고려할 경우 진동 시스템의 지배 방정식은 아래와 같다. $$ \begin{equation} \frac{d^2x}{dt^2} + \frac{R_m}{m} \frac{dx}{dt} + \omega_0^2 x = 0 \tag{1.6.3} \end{equation} $$ 이 방정식의 해를 구하기 위하여, 먼저 일반해를 다음과..

앞의 미분 방정식은 sin, cos 의 삼각함수가 아닌, 복소 exponential 형식으로도 나타낼 수 있다. $$ \begin{equation} \frac{d^2x}{dt^2} + \omega_0^2 x = 0 \tag{1.2.5} \end{equation} $$ 식 (1.2.5) 에 일반해를 아래와 같이 complex exponential 형식으로 가정하자. $$ \begin{equation} x=Ae^{\lambda t} \tag{1.5.1} \end{equation} $$ 그러면, $$ \begin{equation} x = A_1 e^{j \omega_0 t} + A_2 e^{-j \omega_0 t} \tag{1.5.2} \end{equation} $$ 이고, 여기에서 $A_1$ 과 $A_2$..

Buckingham Pi theorem 을 이용하면 로터 해석에 중요한 무차원 수들을 유도해낼 수 있다. 그 중 하나가 추력 계수이다. $$ \begin{equation} C_T = \frac{T}{\rho A V_{\text{tip}}^2} = \frac{T}{\rho A \Omega^2 R^2} \tag{2.31} \end{equation} $$ inflow ratio 도 추력 계수의 식으로 표현할 수 있다. $$ \begin{equation} \lambda_h \equiv \lambda_i = \frac{v_i}{\Omega R} = \frac{1}{\Omega R} \sqrt{ \frac{T}{2 \rho A}} = \sqrt{ \frac{T}{2 \rho A (\Omega R)^2}} = \sq..

induced inflow velocity $v_i$ 는 아래와 같이 쓸 수 있다. $$ \begin{equation} v_h \equiv v_i = \lambda_h \Omega R \tag{2.\25} \end{equation} $$ 여기에서 $ \Omega R = V_ \text{tip} $ 이며 종종 $ V_{\Omega R} $ 로 표기하기도 한다. 식 (2.25) 에서의 $ \lambda_h $ 를 제자리 비행에서의 induced inflow ratio 라고 부르며 induced velocity 와 블레이드 팁 속도의 비율이다. induced inflow ratio 는 무차원화 수이기 때문에 여러 로터의 결과를 비교하는 데 쓰인다.

2.3 장에서는 헬리콥터에서 많이 사용되는 파라미터인 DL (Disk Loading) 과 PL (Power Loading) 이 소개되어 있다. 1) DL (Disk Loading) $$ DL = T / A $$ 2) PL (Power Loading) $$ PL = T/P $$ induced (ideal) power 의 경우 $ P = T v_h $ 의 식으로 표현되기 때문에, $$ PL = \frac{T}{P} = \frac{1}{v_h} $$ 로 쓸 수 있다. 즉, power loading 은 induced velocity 의 역수에 비례한다. 그림 2.6 에 여러가지 헬리콥터 타입에 대한 DL 과 PL 의 관계가 도시되어 있다. 이 그림을 보면, DL 이 커지면 PL 이 작아진다는 것을 쉽게 발견할 ..

시스템의 역학적 에너지 $E$ 는 위치 에너지(potential energy) $E_p$ 와 운동 에너지 $E_k$ 의 합으로 나타낼 수 있다. 1) 위치 에너지 $$ \begin{equation} E_p = \int _0^x sx \ dx = \frac{1}{2}sx^2 \tag{1.4.1} \end{equation} $$ 이 식은 앞 장의 식 (1.3.2) 를 이용하면 아래와 같이 쓸 수 있다. $$ \begin{equation} E_p = \frac{1}{2}sA^2 \cos ^2 (\omega_0 t + \phi) \tag{1.4.2} \end{equation} $$ 2) 운동 에너지 $$ \begin{equation} E_k = \frac{1}{2}mu^2 \tag{1.4.3} \end{equa..

모멘텀 이론은 제자리 비행 중인 헬리콥터를 해석하는 가장 간단한 이론이다. 아래 그림과 같이 제자리 비행 중인 헬리콥터를 생각하자. 여기에서, 0 은 로터 위의 far upstream, 1은 로터 바로 위, 2는 로터 바로 아래, ∞은 로터 아래의 far wake 위치를 의미한다. 로터 아래의 ∞ 과 2 위치에서의 연속 방정식을 사용하면 아래와 같은 식을 유도할 수 있다. $$ \begin{equation} \dot{m} = \iint_{\infty} \rho \vec{V} \cdot d \vec{S} = \iint_{2} \rho \vec{V} \cdot d \vec{S} \tag{2.4} \end{equation} $$ 위 식은 아래와 같이 간단하게 표현 가능하다. $$ \begin{equation}..

1.2 장에서, 단순 진동자의 일반해는 아래와 같았다. $$ \begin{equation} x=A_1 \cos \omega_0 t + A_2 \sin \omega_0 t \tag{1.2.8} \end{equation} $$ 위의 식에서 $A_1$ 과 $A_2$ 는 임의의 상수인데, 초기값 2개 (초기 변위 $x_0$, 초기 속도 $u_0$) 가 정의되어 있을 경우에는 아래와 같이 상수의 값이 결정된다. $$ \begin{equation} x=x_0 \cos \omega_0 t + (u_0/ \omega_0) \sin \omega_0 t \tag{1.3.1} \end{equation} $$ 혹은, 아래와 같이 쓸 수도 있다. $$ \begin{equation} x=A \cos (\omega_0 t + \p..