1.7 Forced oscillations

그림 1.7.1

그림 1.7.1 과 같이 mass, spring, damper 에 외력 $ f(t) $ 까지 적용된 강제 감쇠 진동 시스템의 운동 방정식은 다음과 같다.

$$ \begin{equation} m \frac{d^2x}{dt^2} + R_m \frac{dx}{dt} + s x = f(t) \tag{1.7.1} \end{equation} $$

 

외력 $ f(t) $ 는 보통 삼각 함수로 표현된다. 즉, $ f(t) = F \cos \omega t $

방정식 (1.7.1) 의 해는 두 부분으로 나뉘는데, 외력과 관계 없이 시스템의 자유 진동과 관계 있는 transient 항과 외력에 의해 나타나는 steady-state 항이다.

여기에서 transient 항은 외력 $ f(t) = 0 $ 으로 놓았을 때의 해이며 이 것을 homogeneous solution 이라고 부른다.

강제 감쇠 진동 방정식의 homogeneous 해는 식 (1.6.13) 에 나타나 있으며, 충분한 시간 ( $ t \gg 1 / \beta $ ) 이 지날 경우 homogeneous 항은 무시할 만한 수준으로 작아지며, 이후에는 steady-state 항만 남게 된다.

 

steady-state 해를 구하기 위하여, 외력을 복소 함수 꼴로 나타내면 다음과 같다.

$$ \begin{equation} m \frac{d^2 \mathbf{x}}{dt^2} + R_m \frac{d \mathbf{x}}{dt} + s \mathbf{x} = Fe^{j \omega t} \tag{1.7.2} \end{equation} $$

 

이 방정식의 해를 $ \mathbf{x} = \mathbf{A} \exp (j \omega t) $ 라고 놓고 식 (1.7.2) 에 대입하면,

$$ \begin{equation} (- \mathbf{A} \omega^2 m + j \mathbf{A} \omega R_m + \mathbf{A} s) e^{j \omega t} = Fe^{j \omega t} \tag{1.7.3} \end{equation} $$

 

식 (1.7.3) 을 $ A $ 에 대해 풀면 복소 변위와 속도를 아래와 같이 구할 수 있다.

$$ \begin{equation} \mathbf{x} = \frac{1}{j \omega} \frac{Fe^{j \omega t}}{R_m + j(\omega m - s/ \omega)} \tag{1.7.4} \end{equation} $$

$$ \begin{equation} \mathbf{u} = \frac{Fe^{j \omega t}}{R_m + j(\omega m - s/ \omega)} \tag{1.7.5} \end{equation} $$

 

식 (1.7.4) 와 (1.7.5) 를 간단하게 표현하기 위하여 분모에 있는 항을 complex mechanical input impedance $ \mathbf{Z}_m $ 을 다음과 같이 정의한다.

$$ \begin{equation} \mathbf{Z}_m = R_m + jX_m \tag{1.7.6} \end{equation} $$

 

여기에서 $ X_m $ 은 mechanical reactance 라고 부른다.

$$ \begin{equation} X_m = \omega m -s/ \omega \tag{1.7.7} \end{equation} $$

 

mechanical impedance 와 mechanical reactance 의 단위는 [N·s/m] 이다.

mechanical impedance 는 아래와 같이 크기와 위상각을 가지고 표현할 수도 있다. 즉,

$$ \mathbf{Z}_m = Z_m \exp (j \Theta) $$

 

여기에서 크기와 위상각은 다음과 같다.

$$ \begin{equation} Z_m = [R_m^2 + (\omega m - s/ \omega)^2 ]^{1/2} \tag{1.7.8} \end{equation} $$

$$ \begin{equation} \Theta = \tan ^{-1} (X_m/R_m) = \tan ^{-1} [(\omega m - s/ \omega)/R_m] \tag{1.7.9} \end{equation} $$

 

$ \mathbf{Z}_m $ 를 더 단순하게 표현하면 아래와 같이 표현할 수도 있다. 즉, mechanical impedance 는 외력의 결과로 나타나는 속도에 대한 외력의 비율을 의미한다.

$$ \begin{equation} \mathbf{Z}_m = \mathbf{f} / \mathbf{u} \tag{1.7.10} \end{equation} $$

 

mechanical impedance 는 속도/변위와 다음의 관계를 가지고 있기 때문에, 어떤 시스템에 대하여 mechanical impedance 를 알고 있다면 그 미분 방정식을 푼 것이나 다름없다.

$$ \begin{equation} \mathbf{u} = \mathbf{f} / \mathbf{Z}_m \tag{1.7.11} \end{equation} $$

$$ \begin{equation} \mathbf{x} = \mathbf{f} / j \omega \mathbf{Z}_m \tag{1.7.12} \end{equation} $$

 

식 (1.7.4) 와 식 (1.7.5) 의 실수 부분을 구하면 그것이 실제로 나타나는 변위와 속도가 된다. 즉,

$$ \begin{equation} x = (F/ \omega Z_m) \sin (\omega t - \Theta) \tag{1.7.13} \end{equation} $$

$$ \begin{equation} u = (F/Z_m) \cos (\omega t - \Theta) \tag{1.7.14} \end{equation} $$

 

식 (1.7.14) 에서 $ \Theta $ 는 속도와 외력 사이의 위상각이 되는데,

$ \Theta > 0 $ 일 경우 속도가 외력보다 늦고,

$ \Theta < 0 $ 일 경우에는 속도가 외력보다 빠르게 나타나는 것을 의미한다.