공학도의 지식 창고

2차 homogeneous 선형 ODE 의 기본형에서, $p(x)$ 와 $q(x)$ 가 상수인 경우를 고려하자. $$ \begin{equation} y'' + ay' + by = 0 \end{equation} $$ 이 문제를 풀기 위해서, 해가 아래와 같이 exponential 함수의 꼴을 갖고 있다고 가정하자. $$ y = e^{\lambda x} $$ 그러면 1계 및 2계 도함수는 아래와 같다. $$ y' = \lambda e^{\lambda x}, \qquad y'' = \lambda^2 e^{\lambda x} $$ 이제 (1) 에 대입하여 정리하면, $$ (\lambda ^2 + a \lambda + b) e^{\lambda x} = 0 $$ 여기에서, $e^{\lambda x} \ne 0$ 이..

▣ 2차 선형 상미분 방정식 2차 선형 상미분 방정식의 표준 형식은 아래와 같다. $$ \begin{equation} y''+p(x)y'+q(x)y=r(x) \end{equation} $$ 여기에서 $r(x)=0$ 인 경우를 homogeneous, $r(x) \ne 0$ 인 경우를 non-homogeneous 라고 한다. homogeneous 는 때때로 '동차' 또는 '제차' 와 같은 용어로 번역하기도 하지만, 뭔가 뜻이 달라지는 느낌이 들어 여기에서는 원어를 그대로 사용하기로 한다. homogeneous 선형 ODE 에는 아주 특별하고 유용한 특성이 있는데, 바로 "중첩 원리" 이다. 중첩 원리란, $ y_1 = y_1(x) $ 와 $ y_2 = y_2(x) $ 가 이 미분 방정식의 해일 경우, 두 함..

미분 방정식은 문제에 따라 해가 없을 수도 있고, 하나만 있을 수도, 심지어 무한히 많을 수도 있다. 미분 방정식의 문제 풀이 전에 해의 존재 유무와 유일한지 여부를 미리 알 수 있다면 큰 힘이 될 것이다. $$ \begin{equation} y'=f(x,y), \qquad y(x_0)=y_0 \end{equation} $$ 위와 같은 초기값 문제를 풀 때, 해의 존재성, 유일성과 관련하여 아래의 두 정리가 있다. 정리1. 해의 존재성 정리 사각형 영역 $R: \left | x-x_0 \right \vert

orthogonal trajectory 는 번역하면 직교 절선이라고 한다는데, 너무 생소하니 그냥 원어 표기를 유지하도록 하겠다. 예를 들어 아래와 같은 타원의 방정식이 있다고 하자. $$\frac{1}{2}x^2+y^2=c$$ $c>0$ 인 $c$ 에 대하여 타원 군을 아래 그림과 같이 작도할 수 있다. 상미분 방정식을 이용하면 모든 타원에 수직인 orthogonal trajectory 들을 구할 수 있다. (그림의 점선 부분) 먼저 타원위의 점 $(x,y)$ 에서 타원의 기울기는 아래와 같이 구할 수 있다. $$x+2yy'=0$$ $$y'=-\frac{x}{2y}$$ orthogonal trajectory 의 기울기는 타원의 기울기와 곱하여 -1 이 되어야 하므로, $$ \tilde{y}'=\frac..

아래와 같은 형식으로 나타낼 수 있는 것을 "선형 상미분 방정식" 이라고 한다. $$\begin{equation} y'+p(x)y=r(x) \end{equation}$$ 1) 동차 (homogeneous) 선형 ODE 상미분 방정식에서, 우변의 $r(x)=0$ 인 방정식을 동차 방정식이라고 한다. 동차 방정식은 변수 분리법을 이용하여 손쉽게 풀이할 수 있다. $$\begin{equation}y'+p(x)y=0 \end{equation}$$ $$\frac{dy}{y}=-p(x)dx$$ $$\ln \left | y \right \vert = -\int p(x)dx+c^*$$ $$\begin{equation} \therefore y(x)=ce^{-\int(px) dx} \end{equation}$$ 2) 비동..

어떤 함수 $u(x,y)$ 의 전미분은 아래와 같이 표현할 수 있다. $$du=\frac{\partial u}{\partial x}dx+\frac{\partial u}{\partial y}dy$$ 1차 상미분 방정식 중에서, 위와 같은 전미분의 형태로 표현될 수 있는 것을 "완전 상미분 방정식" 이라고 하며, 아래 과정을 통하여 손쉬운 풀이가 가능하다. 예제를 통해 살펴보자. $$\cos (x+y)dx+(3y^2+2y+\cos (x+y)) dy=0$$ 먼저 $M=\cos (x+y)$, $N=3y^2+2y+\cos (x+y)$ 로 놓자. 그러면, 아래의 관계가 성립한다. $$Mdx+Ndy=0$$ $$\frac{\partial M}{\partial y}=-\sin (x+y)$$ $$\frac{\partial..

▣ 변수 분리법 앞서 설명한 바와 같이, ODE 의 기본 형식은 아래와 같다. $$F(x,y,y')=0$$ 또는 $$y'=f(x,y)$$ 이런 ODE 의 엄밀해를 구하는 데에는 여러 가지 방법이 있는데, 이 중 가장 간단하면서도 많은 경우에 적용할 수 있는 방법이 변수 분리법이다. 많은 경우 ODE 는 $x$ 와 $y$ 를 양변에 분리하여 아래와 같은 형식으로 표현할 수 있다. $$g(y)y'=f(x)$$ 이제 양변을 적분하면, $$\int g(y)y' dx = \int f(x)dx +c$$ 여기에서 $y' dx$ 는 $dx$ 와 같으므로, $$\int g(y) dy = \int f(x)dx +c$$ 가 된다. 이제 좌변은 y 에 대해, 우변은 x 에 대해 적분하면 된다. $$y'=-2xy, y(0)=1..

▣ 상미분 방정식 독립 변수가 하나인 미분 방정식으로, 편미분 방정식과 비교되는 개념이다. - 상미분 방정식 (ODE) : $y' = cos x, \quad y'' + 9y = e^{-2x}, \quad y' y''' - \frac{3}{2}y'^2 = 0$ - 편미분 방정식 (PDE) : $\frac{\partial ^2 u}{\partial x^2}+\frac{\partial ^2 u}{\partial y^2}= 0$ ▣ implicit vs explicit - implicit form : $F(x,y,y')=0$ - explicit form : $y'=f(x,y)$ ▣ 일반해 vs 특수해 상미분 방정식을 풀다 보면 임의의 상수 $c$ 를 포함하고 있는 해를 얻을 수 있는데, 이것을 일반해라고 한다...

제 1 장 루키우스 코르넬리우스 술라는 법무관 선거에 출마하지만 낙선한다. 누미디아에서 유구르타를 생포했던 일이나, 갈리아에서의 활약을 생각하면 술라의 당선은 당연해 보였지만, 원로원 최고참 의원인 스카우루스가 선거에 영향을 끼쳤던 것이다. 당시 스카우루스는 아들이 죽자 아들의 정혼자였던 달마티카와 결혼을 하게 되었는데, 달마티카가 술라에게 반하여 술라가 가는 곳마다 따라다니고 있다는 사실을 알게 되었다. 술라는 나름대로 훌륭하게 처신하였으나, 스카우루스는 큰 스캔들로 발전하지 못하도록 술라에게 로마를 잠시 떠나줄 것을 요구한다. 술라는 이 요구를 거부하고 법무관에 출마하였으나, 아직 스카우루스의 영향력이 큰 상태였다는 것을 간과하였다. 정치에서 한 발 물러난 마리우스는 휴양 겸 소아시아의 정세도 직접 ..

기원전 110년 가난한 귀족 가이우스 율리우스 카이사르의 가족은 로마의 신임 집정관 취임식을 구경하러 간다. 이와는 반대의 상황, 즉 재산은 많지만 타고난 핏줄이 좋지 않은 법무관 가이우스 마리우스도 취임식 구경 행렬 중에 있었다. 그는 여기에서 범상치 않은 인물을 발견하는데, 그가 바로 루키우스 코르넬리우스 술라였다. 술라는 코르넬리우스라는 귀족 가문의 후손이지만 지금은 무일푼으로 의붓어머니인 클리툼나, 애인인 니코폴리스와 한 침대에서 지내는 신세이다. 술라는 자신의 출신에 비추어 이런 하층민들과의 삶이 적절치 않다는 건 알고 있지만, 나름대로 이 생활에 적응하면서 지내고 있다. 술라는 우연히 집정관 취임식에 갔다가 마리우스와 눈이 마주친다. 마시니사 대왕은 로마가 포에니 전쟁으로 카르타고를 멸망시킨 ..