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2차 homogeneous 선형 ODE 의 일반형 $$ \begin{equation} y'' + p(x)y' + q(x)y = 0 \end{equation} $$ 이 아래와 같이 2개의 초기 값을 갖는 문제에 대해 생각해 보자. $$ \begin{equation} y(x_0)=K_0, \qquad y'(x_0)=K_1 \end{equation} $$ 이와 같은 문제에서, 해의 존재성과 유일성에 대한 정리는 다음과 같다. 식 (1) 의 $p(x)$ 와 $q(x)$ 가 열린 구간 $I$ 에서 연속이고, $x_0$ 가 $I$ 구간 내에 있으면, 식 (1), (2) 로 구성된 초기 값 문제는 구간 $I$ 에서 유일한 해 $y(x)$ 를 갖는다. 식 (1) 의 일반 해는 선형 독립인 $y_1$, $y_2$ 의 합..

2차 ODE 의 대표적인 문제로 매스-스프링-댐퍼 시스템을 들 수 있다. 1. undamped system 먼저 그림 1 과 같이 단순한 mass-spring 시스템에 대해 생각해 보자. 좌표계는 질량이 정적 평형 상태에 있을 때 (즉, 스프링의 복원력과 질량의 중량이 같을 때) 를 기준으로 하고, 아래쪽 방향을 + 로 생각한다. $y$ 를 질량의 변위라고 하면, 질량이 $y$ 의 위치에 있을 때 이 것은 위쪽 방향으로 스프링의 복원력 만큼의 힘을 받게 된다. 즉, $ F = -k y $ 이다. 뉴턴의 제 2 법칙인 $ F = m a $ 를 이 질량에 적용하면 아래와 같다. $$ a = d^2 y / d t^2 = y'' \qquad -ky = m y''$$ $$ \begin{equation} my'' ..

2차 homogeneous 선형 ODE 의 기본형에서, $p(x)$ 와 $q(x)$ 가 상수인 경우를 고려하자. $$ \begin{equation} y'' + ay' + by = 0 \end{equation} $$ 이 문제를 풀기 위해서, 해가 아래와 같이 exponential 함수의 꼴을 갖고 있다고 가정하자. $$ y = e^{\lambda x} $$ 그러면 1계 및 2계 도함수는 아래와 같다. $$ y' = \lambda e^{\lambda x}, \qquad y'' = \lambda^2 e^{\lambda x} $$ 이제 (1) 에 대입하여 정리하면, $$ (\lambda ^2 + a \lambda + b) e^{\lambda x} = 0 $$ 여기에서, $e^{\lambda x} \ne 0$ 이..

▣ 2차 선형 상미분 방정식 2차 선형 상미분 방정식의 표준 형식은 아래와 같다. $$ \begin{equation} y''+p(x)y'+q(x)y=r(x) \end{equation} $$ 여기에서 $r(x)=0$ 인 경우를 homogeneous, $r(x) \ne 0$ 인 경우를 non-homogeneous 라고 한다. homogeneous 는 때때로 '동차' 또는 '제차' 와 같은 용어로 번역하기도 하지만, 뭔가 뜻이 달라지는 느낌이 들어 여기에서는 원어를 그대로 사용하기로 한다. homogeneous 선형 ODE 에는 아주 특별하고 유용한 특성이 있는데, 바로 "중첩 원리" 이다. 중첩 원리란, $ y_1 = y_1(x) $ 와 $ y_2 = y_2(x) $ 가 이 미분 방정식의 해일 경우, 두 함..

미분 방정식은 문제에 따라 해가 없을 수도 있고, 하나만 있을 수도, 심지어 무한히 많을 수도 있다. 미분 방정식의 문제 풀이 전에 해의 존재 유무와 유일한지 여부를 미리 알 수 있다면 큰 힘이 될 것이다. $$ \begin{equation} y'=f(x,y), \qquad y(x_0)=y_0 \end{equation} $$ 위와 같은 초기값 문제를 풀 때, 해의 존재성, 유일성과 관련하여 아래의 두 정리가 있다. 정리1. 해의 존재성 정리 사각형 영역 $R: \left | x-x_0 \right \vert

orthogonal trajectory 는 번역하면 직교 절선이라고 한다는데, 너무 생소하니 그냥 원어 표기를 유지하도록 하겠다. 예를 들어 아래와 같은 타원의 방정식이 있다고 하자. $$\frac{1}{2}x^2+y^2=c$$ $c>0$ 인 $c$ 에 대하여 타원 군을 아래 그림과 같이 작도할 수 있다. 상미분 방정식을 이용하면 모든 타원에 수직인 orthogonal trajectory 들을 구할 수 있다. (그림의 점선 부분) 먼저 타원위의 점 $(x,y)$ 에서 타원의 기울기는 아래와 같이 구할 수 있다. $$x+2yy'=0$$ $$y'=-\frac{x}{2y}$$ orthogonal trajectory 의 기울기는 타원의 기울기와 곱하여 -1 이 되어야 하므로, $$ \tilde{y}'=\frac..

아래와 같은 형식으로 나타낼 수 있는 것을 "선형 상미분 방정식" 이라고 한다. $$\begin{equation} y'+p(x)y=r(x) \end{equation}$$ 1) 동차 (homogeneous) 선형 ODE 상미분 방정식에서, 우변의 $r(x)=0$ 인 방정식을 동차 방정식이라고 한다. 동차 방정식은 변수 분리법을 이용하여 손쉽게 풀이할 수 있다. $$\begin{equation}y'+p(x)y=0 \end{equation}$$ $$\frac{dy}{y}=-p(x)dx$$ $$\ln \left | y \right \vert = -\int p(x)dx+c^*$$ $$\begin{equation} \therefore y(x)=ce^{-\int(px) dx} \end{equation}$$ 2) 비동..

어떤 함수 $u(x,y)$ 의 전미분은 아래와 같이 표현할 수 있다. $$du=\frac{\partial u}{\partial x}dx+\frac{\partial u}{\partial y}dy$$ 1차 상미분 방정식 중에서, 위와 같은 전미분의 형태로 표현될 수 있는 것을 "완전 상미분 방정식" 이라고 하며, 아래 과정을 통하여 손쉬운 풀이가 가능하다. 예제를 통해 살펴보자. $$\cos (x+y)dx+(3y^2+2y+\cos (x+y)) dy=0$$ 먼저 $M=\cos (x+y)$, $N=3y^2+2y+\cos (x+y)$ 로 놓자. 그러면, 아래의 관계가 성립한다. $$Mdx+Ndy=0$$ $$\frac{\partial M}{\partial y}=-\sin (x+y)$$ $$\frac{\partial..

▣ 변수 분리법 앞서 설명한 바와 같이, ODE 의 기본 형식은 아래와 같다. $$F(x,y,y')=0$$ 또는 $$y'=f(x,y)$$ 이런 ODE 의 엄밀해를 구하는 데에는 여러 가지 방법이 있는데, 이 중 가장 간단하면서도 많은 경우에 적용할 수 있는 방법이 변수 분리법이다. 많은 경우 ODE 는 $x$ 와 $y$ 를 양변에 분리하여 아래와 같은 형식으로 표현할 수 있다. $$g(y)y'=f(x)$$ 이제 양변을 적분하면, $$\int g(y)y' dx = \int f(x)dx +c$$ 여기에서 $y' dx$ 는 $dx$ 와 같으므로, $$\int g(y) dy = \int f(x)dx +c$$ 가 된다. 이제 좌변은 y 에 대해, 우변은 x 에 대해 적분하면 된다. $$y'=-2xy, y(0)=1..

▣ 상미분 방정식 독립 변수가 하나인 미분 방정식으로, 편미분 방정식과 비교되는 개념이다. - 상미분 방정식 (ODE) : $y' = cos x, \quad y'' + 9y = e^{-2x}, \quad y' y''' - \frac{3}{2}y'^2 = 0$ - 편미분 방정식 (PDE) : $\frac{\partial ^2 u}{\partial x^2}+\frac{\partial ^2 u}{\partial y^2}= 0$ ▣ implicit vs explicit - implicit form : $F(x,y,y')=0$ - explicit form : $y'=f(x,y)$ ▣ 일반해 vs 특수해 상미분 방정식을 풀다 보면 임의의 상수 $c$ 를 포함하고 있는 해를 얻을 수 있는데, 이것을 일반해라고 한다...