공학도의 지식 창고

그림 1.7.1 과 같이 mass, spring, damper 에 외력 $ f(t) $ 까지 적용된 강제 감쇠 진동 시스템의 운동 방정식은 다음과 같다. $$ \begin{equation} m \frac{d^2x}{dt^2} + R_m \frac{dx}{dt} + s x = f(t) \tag{1.7.1} \end{equation} $$ 외력 $ f(t) $ 는 보통 삼각 함수로 표현된다. 즉, $ f(t) = F \cos \omega t $ 방정식 (1.7.1) 의 해는 두 부분으로 나뉘는데, 외력과 관계 없이 시스템의 자유 진동과 관계 있는 transient 항과 외력에 의해 나타나는 steady-state 항이다. 여기에서 transient 항은 외력 $ f(t) = 0 $ 으로 놓았을 때의 해이며 ..

실제의 진동 문제에서는 마찰력의 존재로 인해 감쇄가 나타나게 된다. 마찰력은 보통 진동 속도에 비례하며 다음과 같이 표현한다. $$ \begin{equation} f_r = - R_m \frac{dx}{dt} \tag{1.6.1} \end{equation} $$ 여기에서 $ R_m $ 은 mechanical resistance 로 단위는 (N·s/m) 이나 (kg/s) 를 갖는다. 마찰까지 고려할 경우 진동 시스템의 지배 방정식은 아래와 같다. $$ \begin{equation} \frac{d^2x}{dt^2} + \frac{R_m}{m} \frac{dx}{dt} + \omega_0^2 x = 0 \tag{1.6.3} \end{equation} $$ 이 방정식의 해를 구하기 위하여, 먼저 일반해를 다음과..

앞의 미분 방정식은 sin, cos 의 삼각함수가 아닌, 복소 exponential 형식으로도 나타낼 수 있다. $$ \begin{equation} \frac{d^2x}{dt^2} + \omega_0^2 x = 0 \tag{1.2.5} \end{equation} $$ 식 (1.2.5) 에 일반해를 아래와 같이 complex exponential 형식으로 가정하자. $$ \begin{equation} x=Ae^{\lambda t} \tag{1.5.1} \end{equation} $$ 그러면, $$ \begin{equation} x = A_1 e^{j \omega_0 t} + A_2 e^{-j \omega_0 t} \tag{1.5.2} \end{equation} $$ 이고, 여기에서 $A_1$ 과 $A_2$..

시스템의 역학적 에너지 $E$ 는 위치 에너지(potential energy) $E_p$ 와 운동 에너지 $E_k$ 의 합으로 나타낼 수 있다. 1) 위치 에너지 $$ \begin{equation} E_p = \int _0^x sx \ dx = \frac{1}{2}sx^2 \tag{1.4.1} \end{equation} $$ 이 식은 앞 장의 식 (1.3.2) 를 이용하면 아래와 같이 쓸 수 있다. $$ \begin{equation} E_p = \frac{1}{2}sA^2 \cos ^2 (\omega_0 t + \phi) \tag{1.4.2} \end{equation} $$ 2) 운동 에너지 $$ \begin{equation} E_k = \frac{1}{2}mu^2 \tag{1.4.3} \end{equa..

1.2 장에서, 단순 진동자의 일반해는 아래와 같았다. $$ \begin{equation} x=A_1 \cos \omega_0 t + A_2 \sin \omega_0 t \tag{1.2.8} \end{equation} $$ 위의 식에서 $A_1$ 과 $A_2$ 는 임의의 상수인데, 초기값 2개 (초기 변위 $x_0$, 초기 속도 $u_0$) 가 정의되어 있을 경우에는 아래와 같이 상수의 값이 결정된다. $$ \begin{equation} x=x_0 \cos \omega_0 t + (u_0/ \omega_0) \sin \omega_0 t \tag{1.3.1} \end{equation} $$ 혹은, 아래와 같이 쓸 수도 있다. $$ \begin{equation} x=A \cos (\omega_0 t + \p..

아래와 같은 단순 진동자(simple oscillator)에서, 운동 방정식은 아래와 같이 쓸 수 있다. $$ \begin{equation} f = m \frac{d^2x}{dt^2} \tag{1.2.2} \end{equation} $$ 여기에서, $ f=-sx $ 이므로, $$ \begin{equation} \frac{d^2x}{dt^2} + \frac{s}{m} x = 0 \tag{1.2.3} \end{equation} $$ $s$ 와 $m$ 은 모두 양수 이므로, 새로운 변수 $\omega_0$ 를 아래와 같이 정의한다. $$ \begin{equation} \omega_0^2 = \frac{s}{m} \tag{1.2.4} \end{equation} $$ 이제, 단순 진동자의 일반 운동 방정식을 아래..