1.6 Damped oscillations

실제의 진동 문제에서는 마찰력의 존재로 인해 감쇄가 나타나게 된다.

마찰력은 보통 진동 속도에 비례하며 다음과 같이 표현한다.

$$ \begin{equation} f_r = - R_m \frac{dx}{dt} \tag{1.6.1} \end{equation} $$

 

여기에서 $ R_m $ 은 mechanical resistance 로 단위는 (N·s/m) 이나 (kg/s) 를 갖는다.

 

마찰까지 고려할 경우 진동 시스템의 지배 방정식은 아래와 같다.

$$ \begin{equation} \frac{d^2x}{dt^2} + \frac{R_m}{m} \frac{dx}{dt} + \omega_0^2 x = 0 \tag{1.6.3} \end{equation} $$

 

이 방정식의 해를 구하기 위하여, 먼저 일반해를 다음과 같이 가정한다.

$$ \begin{equation} x = A e^{j \gamma t} \tag{1.6.4} \end{equation} $$

 

식 (1.6.4) 를 식 (1.6.3) 에 대입하면,

$$ \begin{equation} [\gamma^2 + (R_m/m) \gamma + \omega_0 ^2] A e^{j \gamma t} = 0 \tag{1.6.5} \end{equation} $$

 

식 (1.6.5) 가 항상 성립하기 위해서는,

$$ \begin{equation} \gamma^2 + (R_m/m) \gamma + \omega_0 ^2 = 0 \tag{1.6.6} \end{equation} $$

 

따라서,

$$ \begin{equation} \gamma = -\beta \pm (\beta^2 - \omega_0 ^2) ^ {1/2} \tag{1.6.7} \end{equation} $$

$$ \begin{equation} \beta = R_m / 2m \tag{1.6.8} \end{equation} $$

 

음향학에서 다루는 대부분의 경우 $ R_m $ 이 작아 $ \omega_0 > \beta $ 이므로, $ \gamma $ 는 허수부를 포함한 복소수가 된다.

 

식 (1.6.7) 에서, 감쇠 진동의 고유 각주파수 $ \omega_d $ 를 아래와 같이 정의한다.

$$ \begin{equation} \omega_d = (\omega_0 ^2 - \beta^2) ^ {1/2} \tag{1.6.10} \end{equation} $$

 

$ \omega_d $ 는 감쇠가 없을 때의 고유 각주파수 $ \omega_0 $ 에 비해 항상 작은 값을 갖는다.

 

지금까지 구한 값들을 이용하여 감쇠 진동의 일반 해를 표현하면 아래와 같다.

$$ \begin{equation} x = e ^{- \beta t}(A_1 e^{j \omega_d t} + A_2 e^{-j \omega_d t} ) \tag{1.6.12} \end{equation} $$

 

위의 식에서 실수 부분에 해당하는 값만 떼어 내어 일반해를 표현하면 아래와 같이 할 수 있다.

$$ \begin{equation} x = A e^{- \beta t} \cos (\omega_d t + \phi) \tag{1.6.13} \end{equation} $$

 

그림 1.6.2

여러 $ \beta $ 값에 대하여 변위의 time history 가 그림 1.6.2 에 나타나 있다.

 

진동이 빨리 사라지는 정도를 표현하기 위하여 진폭의 크기가 초기값 대비 $ 1/e $ 로 줄어드는데 걸리는 시간을 relaxation time (또는 decay modulus, decay time, time constant, characteristic time) 이라고 부르며, 아래와 같이 주어진다.

$$ \begin{equation} \tau = 1/ \beta = 2m / R_m \tag{1.6.14} \end{equation} $$

 

식 (1.6.13) 은 사실 아래와 같은 복소 일반해의 한 부분이다.

$$ \begin{equation} x = A e^{j (\omega_d + j \beta) t} \tag{1.6.16} \end{equation} $$

 

여기에서 복소 각 주파수 $ \boldsymbol{\omega}_d $ 를 아래와 같이 정의할 수 있다.

$$ \begin{equation} \boldsymbol{\omega}_d = \omega_d + j \beta \tag{1.6.17} \end{equation} $$