07. 2차 선형 상미분 방정식 - Homogeneous ODE

▣ 2차 선형 상미분 방정식

2차 선형 상미분 방정식의 표준 형식은 아래와 같다.

$$\begin{equation} y''+p(x)y'+q(x)y=r(x) \end{equation}$$

 

여기에서 $r(x)=0$ 인 경우를 homogeneous, $r(x) \ne 0$ 인 경우를 non-homogeneous 라고 한다.

homogeneous 는 때때로 '동차' 또는 '제차' 와 같은 용어로 번역하기도 하지만, 뭔가 뜻이 달라지는 느낌이 들어 여기에서는 원어를 그대로 사용하기로 한다.

 

homogeneous 선형 ODE 에는 아주 특별하고 유용한 특성이 있는데, 바로 "중첩 원리" 이다.

중첩 원리란, $y_1 = y_1(x)$ 와 $y_2 = y_2(x)$ 가 이 미분 방정식의 해일 경우,

두 함수의 선형 결합인 $y = c_1 y_1(x) + c_2 y_2(x)$ 도 또한 해가 된다는 원리이다. ($c_1$, $c_2$ 는 임의의 상수)

 

예를 들어 아래와 같은 문제가 있다고 하자.

$$y'' + y = 0$$

 

함수 $y = \cos x$ 와 $y = \sin x$ 는 둘 다 이 방정식의 해이다.

중첩의 원리를 통해, $(4.7 \cos x - 2 \sin x)$ 도 역시 이 방정식의 해가 된다.

 

주의할 점은, 중첩 원리는 homogeneous 선형 ODE 에만 적용할 수 있다는 것이다.

비선형 ODE 나 non-homogeneous 선형 ODE 의 경우에는 중첩 원리가 성립되지 않는다.

 

2차 homogeneous 선형 상미분 방정식의 경우 일반 해가

$$y=c_1y_1+c_2y_2$$

의 꼴로 나타나기 때문에, 특수해를 구하기 위해서는 미지수 $c_1$, $c_2$ 2개를 구할 수 있게끔 아래와 같이 2개의 초기값이 필요하다.

$$y(x_0)=K_0, \qquad y'(x_0)=K_1$$

 

예제를 보자.

---

<예제>

$$y''+y=0, \qquad y(0)=3.0, \qquad y'(0)=-0.5$$

 

1) 일반해 구하기

이 미분 방정식의 2개의 해가 $\cos x$ 와 $\sin x$ 이기 때문에, 일반해는 두 해의 선형 결합의 형태로 아래와 같이 나타낼 수 있다.

$$y=c_1 \cos x + c_2 \sin x$$

 

2) 특수해 구하기

$y = c_1 \cos x + c_2 \sin x$ 이므로 $y(0)=c_1=3.0$

$y' = -c_1 \sin x + c_2 \cos x$ 이므로, $y'(0)=c_2=-0.5$

따라서 구하는 해는,

$$y=3.0 \cos x - 0.5 \sin x$$

---

이와 같은 순서로 미분 방정식을 풀 때 주의할 점이 있다.

일반해를 구성하는 2개의 해 $y_1$, $y_2$ 는 서로 비례 관계에 있어서는 안된다.

즉, $y_1=ky_2$ 와 같은 식으로 표현되서는 안된다.

$y_1$, $y_2$ 가 서로 비례 관계에 있지 않을 때, 우리는 $y_1$ 과 $y_2$ 를 서로 선형 독립이라고 표현하며, 이 두 해를 basis 라고 부른다.

 

선형 독립을 수학적으로 표현하면 아래와 같다.

$$k_1y_1(x)+k_2y_2(x)=0 \Rightarrow k_1=0 \quad \text{and} \quad k_2=0$$

 

 

▣ 차수 축소법 (Reduction of Order)

미분 방정식을 풀다 보면 때때로 직관에 의해 한 개의 해는 쉽게 구할 수 있는 경우가 있다.

이럴 경우 두 번째 해는 차수 축소법을 통해 1차 ODE 의 해를 구함으로써 얻을 수 있다.

 

2차 homogeneous 선형 ODE $y''+py'qy=0$ 의 하나의 해를 $y_1$ 이라고 하자.

$y_2=uy_1$ 이라고 놓으면, 그 미분값은 아래와 같다.

$$y_2=uy_1, \qquad y_2'=u'y_1+uy_1', \qquad y_2''=u''y_1+2u'y_1'+uy_1''$$

 

이제 이것을 대입하여 정리하면,

$$u''y_1+2u'y_1'+uy_1''+p(u'y_1+uy_1')+quy_1=0$$

$$u''y_1+u'(2y_1'+py_1)+u(y_1''+py_1'+qy_1)=0$$

 

이제 $y_1$ 이 이 ODE 의 해이므로, 마지막 항의 $y_1''+py_1'+qy_1=0$ 이 성립하고, 수식에는 $u''$ 와 $u'$ 만 남게 된다.

$U=u'$ 로 놓으면 $U'=u''$ 가 되고 이 ODE 의 차수는 1차로 축소할 수 있다. 즉,

$$U'+\left ( \frac{2y_1'}{y_1}+p \right ) U=0$$

 

이 1차 ODE 는 변수 분리법을 이용하여 쉽게 풀 수 있다.

$$\frac{dU}{U} = - \left ( \frac{2y_1'}{y_1}+p \right ) dx$$

$$\ln \left | U \right \vert = -2 \ln \left | y_1 \right \vert - \int p\ dx$$

$$U=\frac{1}{y_1^2}e^{-\int p\ dx}$$

 

$u = \int U\ dx$ 이므로,

$$y_2 = y_1 u = y_1 \int U\ dx$$

---

<예제>

$$(x^2-x)y''-xy'+y=0$$

 

직관에 의해 $y_1=x$ 라는 첫번째 해를 얻었다고 하자. 다음 $y_2=uy_1$ 이라고 놓으면,

$$y_2=ux, \qquad y_2'=u'x+u, \qquad y''=u''x+2u'$$

 

이제 문제의 식에 대입하여 정리하면,

$$(x^2-x)(u''x+2u')-x(u'x+u)+ux=0$$

$$(x^2-x)(u''x+2u')-x^2u'=0$$

$$ (x^2-x)u''+(x-2)u'=0 $$

 

이제 $u'=U$ 로 놓으면,

$$(x^2-x)U'+(x-2)U=0$$

$$\frac{dU}{U}=-\frac{x-2}{x^2-x}dx=\left ( \frac{1}{x-1}-\frac{2}{x} \right ) dx$$

$$\ln \left | U \right \vert = \ln \left | x-1 \right \vert -2 \ln \left | x \right \vert = \ln \frac{\left | x-1 \right \vert}{x^2}$$

$$U = \frac {x-1}{x^2} = \frac{1}{x} - \frac{1}{x^2}$$

$$u = \int U\ dx = \ln \left | x \right \vert + \frac{1}{x}$$

$$y_2 = ux = x \ln \left | x \right \vert+1$$

---