04. 1차 상미분 방정식 - 선형 상미분 방정식

아래와 같은 형식으로 나타낼 수 있는 것을 "선형 상미분 방정식" 이라고 한다.

$$\begin{equation} y'+p(x)y=r(x) \end{equation}$$

 

1) 동차 (homogeneous) 선형 ODE

상미분 방정식에서, 우변의 $r(x)=0$ 인 방정식을 동차 방정식이라고 한다.

동차 방정식은 변수 분리법을 이용하여 손쉽게 풀이할 수 있다.

$$\begin{equation}y'+p(x)y=0 \end{equation}$$

$$\frac{dy}{y}=-p(x)dx$$

$$\ln \left | y \right \vert = -\int p(x)dx+c^*$$

$$\begin{equation} \therefore y(x)=ce^{-\int(px) dx} \end{equation}$$

 

2) 비동차 (nonhomogeneous) 선형 ODE

비동차 선형 상미분 방정식을 풀기 위하여, 앞 장에 나온 적분 인자를 이용하자.

적분 인자를 $F(x)$ 라 두고, 문제의 양 변에 곱하면,

$$ \begin{equation} Fy' + pFy = rF \tag{1*} \end{equation} $$

 

여기에서, $(Fy)' = F'y + Fy'$ 임을 생각해 본다면,

$pFy=F'y$ 라면 위 식의 좌변을 $(Fy)'$ 라고 고쳐 쓸 수 있을 것이다.

그러면 $pF=F'$ 이고, $dF/F = p dx$ 이므로

$$ \ln \left | F \right \vert = h= \int p dx, \qquad \text{thus} \qquad F=e^h$$

 

이제 $F=e^h$ 와 $h'p$ 를 식 (1*) 에 대입하여 정리하면,

$$(Fy)'=rF$$

$$(e^hy)'=re^h$$

$$e^hy=\int e^h r dx+c$$

 

양 변을 $e^h$ 로 나누면,

$$ \begin{equation} y(x)=e^{-h} \left ( \int e^h rdx \right ) + ce^{-h}, \qquad h=\int p(x) dx \end{equation} $$

 

여기에서 두번째 항은 동차 방정식의 해와 동일하다는 것을 알 수 있다.

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<예제>

$$y'+y \tan x = \sin 2x, \qquad y(0)=1$$

 

먼저 문제의 수식을 1차 선형 상미분 방정식의 표준형인 $y' + p(x)y = r(x)$ 와 비교하면,

$p(x)=\tan x$, $r(x)=\sin 2x=2\sin x \cos x$ 임을 알 수 있다.

이제 $h$ 를 구해보면,

$$h=\int p dx=\int \tan x dx = \ln \left | \sec x \right \vert$$

 

식 (4) 에서 선형 상미분 방정식의 일반 해가 $ y(x)=e^{-h} \left ( \int e^h rdx \right ) + ce^{-h}$ 이므로,

$$e^h=\sec x, \qquad e^{-h}=\cos x, \qquad e^hr=(\sec x)(2 \sin x \cos x)=2 \sin x$$

 

임을 이용하면, 문제의 일반해는

$$y(x)=-2 \cos ^2 x + c \cos x$$

 

이제 초기값 $y(0)=1$ 을 일반해에 대입하면,

$$- 2 \cdot 1^2 + c \cdot 1 = 1, \qquad \text{thus} \qquad c=3$$

 

따라서 구하는 해는,

$$y(x)=-2 \cos ^2 x + 3 \cos x $$

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비선형 방정식 중에서 약간의 조작을 통하면 선형 방정식으로 변환시킬 수 있는 것들이 존재하며, 그 중에 대표적인 것이 바로 베르누이 방정식이다.

$$ \begin{equation} y'+p(x)y=g(x)y^a \end{equation} $$

 

여기에서 $a$ 는 임의의 실수이다. $a=0$ 또는 $a=1$ 이면 이 방정식은 자동으로 선형 방정식이 되고, 그렇지 않을 경우는 비선형 방정식이 된다. 먼저 새로운 함수 $u(x)$ 를 아래와 같이 정의하자.

$$u(x)=[y(x)]^{1-a}$$

 

그러면

$$u'=(1-a)y^{-a}y'=(1-a)y^{-a}(gy^a-py) = (1-a)(g-py^{1-a})$$

 

여기에서 $y^{1-a}=u$ 이므로, 최종적으로 아래와 같은 선형 상미분 방정식으로 변환할 수 있다.

$$ \begin{equation} u'+(1-a)pu=(1-a)g \end{equation}$$

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<예제>

$$y'=Ay-By^2$$

 

먼저 $a=2$ 이므로 $u=y^{1-a}=y^{-1}$ 이 된다. 이제 $u$ 를 미분하면,

$$u'=-y^{-2}y'=-y^{-2}(Ay-By^2)=B-Ay^{-1}=B-Au$$

 

그러면 아래와 같은 1차 선형 상미분 방정식을 얻을 수 있다.

$$u'+Au=B$$

 

식 (4) 에서 1차 선형 상미분 방정식의 일반해는 $ y(x)=e^{-h} \left ( \int e^h rdx \right ) + ce^{-h}$ 였고,

$ h = \int p(x) dx = \int A dx = Ax $ 이다. 그리고 $r=B$ 이므로, 대입하여 정리하면,

 

$$ u(x) = e^{-Ax} \left ( \int e^{Ax} Bdx \right ) + ce^{-Ax} $$

$$ = e^{-Ax} \frac{B}{A} e^{Ax} + ce^{-Ax} = ce^{-Ax} + \frac{B}{A}$$

 

여기에서 $u=1/y$ 이므로, 문제의 일반 해는

$$y=\frac{1}{u}=\frac{1}{ce^{-Ax}+B/A}$$

 

참고로 이 문제에서 우변의 $Ay-By^2$ 에는 독립 변수 $x$ 가 없고 오로지 $y$ 만의 함수로만 이루어져 있다.

이런 방정식을 "autonomous" 라고 부른다.