3.1 Introduction

 

- 부피 분율 (volume fraction) : $ v_i = V_i / V_c $ ( $ V_i $ : $ i $ 번째 요소의 부피, $ V_c $ : 전체 부피)
$$ \begin{equation} v_f + v_m + v_v = 1 \tag{3.2} \end{equation} $$                                       (f : fiber, m : matrix, v : void 를 의미한다.)

 

- 무게 분율 (weight fraction) : $ w_i = W_i / W_c $ ( $ W_i $ : $ i $ 번째 요소의 무게, $ W_c $ : 전체 부피)
$$ \begin{equation} w_f + w_m = 1 \tag{3.4} \end{equation} $$                                                 (void 의 무게는 무시한다.)

 

- ROM (Rule of Mixtures)
$$ \begin{equation} \rho_c = \rho_f v_f + \rho_m v_m = 1 \tag{3.6} \end{equation} $$

식 (3.2) 는 다음과 같이 변형할 수 있다.

$$ \frac{1}{v_f + v_m + v_v} = 1 \\
\frac{1}{ \frac{V_f}{V_c} + \frac{V_m}{V_c} + \frac{V_v}{V_c} } = 1 \\
\frac{V_c}{ V_f + V_m + V_v } = 1 \\
\frac{ \frac{V_c}{W_c} }{ \frac{V_f}{W_f} \frac{W_f}{W_c} + \frac{V_m}{W_m} \frac{W_m}{W_c} + \frac{V_v}{W_v} \frac{W_v}{W_c} } = 1 \\
\frac{ \frac{1}{\rho_c} }{ \frac{1}{\rho_f}w_f +\frac{1}{\rho_m}w_m + \frac{1}{\rho_v}w_v } =1 $$

$$ \begin{equation} \rho_c = \frac{1}{ \frac{w_f}{\rho_f} + \frac{w_m}{\rho_m} } \tag{3.8} \end{equation} $$

식 (3.2), (3.4) 로부터 void 에 대한 부피 분율은 아래와 같이 구할 수도 있다.
$$ \begin{equation} v_v = 1- \frac{ (W_f/\rho_f) + (W_c-W_f)/\rho_m}{W_c / \rho_c} \tag{3.9} \end{equation} $$ 보통의 경우 $ v_v $ 의 값은 0.1%~1% 를 갖는다.

- $ v_i $ 와 $ w_i $ 의 관계 : 이론 수식은 $ v_i $ 로 표현되는 경우가 많으나 재료의 물성치는 $ w_i $ 를 측정하는 경우가 많음.

$$ \begin{align} & w_f = \frac{W_f}{W_c} = \frac {\rho_f V_f}{\rho_c V_c} = \frac{\rho_f}{\rho_c} v_f \tag{3.10}  \\
& v_f = \frac{\rho_c}{\rho_f} w_f \tag{3.11} \end{align} $$

matrix 에 대해서도 동일한 수식을 유도할 수 있다.
$$ \begin{align} & w_m = \frac{W_m}{W_c} = \frac {\rho_m V_m}{\rho_c V_c} = \frac{\rho_m}{\rho_c} v_m \tag{3.12} \\  & v_m = \frac{\rho_c}{\rho_m} w_m \tag{3.13} \end{align} $$

- fiber 배치 : 아래 그림과 같이 사각형 또는 삼각형 배치를 고려할 수 있다.

그림 3.1

각각의 경우에 $s$, $d$ 에 대한 부피 분율과 가능한 최대 값은 아래와 같다.

구분	사각형 배치	삼각형 배치
부피 분율	$ v_f = \frac{\pi}{4} \left ( \frac{d}{s} \right )^2 $	$ v_f = \frac{\pi}{2\sqrt{3}} \left ( \frac{d}{s} \right )^2 $
부피 분율 (최대값)	$ v_{f \text{max}} = \frac{\pi}{4} = 0.785 $	$ v_{f \text{max}} = \frac{\pi}{2\sqrt{3}} = 0.907 $

이 최대값은 이론적인 값으로, 실제로는 0.5 ~ 0.8 의 값을 갖는다.