2.6 Generally Orthotropic Lamina

 

아래 그림과 같이 재료의 방향(x-y축)이 주축(1-2축) 방향과 어긋나 있는 경우를 “generally orthotropic” 이라고 한다.
좌표 변환 행렬을 이용하면 x-y축에서 1-2축으로 변환이 가능하다.

그림 2.12

먼저 앞에서 좌표 변환 행렬 $ Q $ 는 다음과 같이 구할 수 있었다.
$$ [Q] = \begin{bmatrix}
i_1’ \cdot i_1   &   i_1’ \cdot i_2   &   i_1’ \cdot i_3 \\
i_2’ \cdot i_1   &   i_2’ \cdot i_2   &   i_2’ \cdot i_3 \\
i_3’ \cdot i_1   &   i_3’ \cdot i_2   &   i_3’ \cdot i_3 \\
\end{bmatrix} $$

여기에서
$$ \begin{align*}
& i_1 = \begin{Bmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{Bmatrix}, \qquad i_2 = \begin{Bmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{Bmatrix}, \qquad i_3 = \begin{Bmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{Bmatrix} \\
& i_1’ = \begin{Bmatrix} \cos \theta \\ \sin \theta \\ 0 \end{Bmatrix}, \qquad i_2’ = \begin{Bmatrix} -\sin \theta \\ \cos \theta \\ 0 \end{Bmatrix}, \qquad i_3’ = \begin{Bmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{Bmatrix}
\end{align*} $$
따라서
$$ [Q] = \begin{bmatrix} \cos \theta & \sin \theta & 0 \\
- \sin \theta & \cos \theta & 0 \\
0 & 0 & 1 \end{bmatrix} $$

z축 방향으로는 변화가 없기 때문에 x, y축과 관련 있는 첫 2×2 행렬만 고려하면 된다. 즉,
$$ [ \sigma_{12} ] = [Q] [ \sigma_{xy} ] [Q]^T $$
$$ \begin{bmatrix} \sigma_1 & \tau_{12} \\ \tau_{12} & \sigma_2 \end{bmatrix} = 
\begin{bmatrix} \cos \theta & \sin \theta \\ - \sin \theta & \cos \theta \end{bmatrix}
\begin{bmatrix} \sigma_x & \tau_{xy} \\ \tau_{xy} & \sigma_y \end{bmatrix}
\begin{bmatrix} \cos \theta & - \sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{bmatrix} \\
\qquad = \begin{bmatrix} c^2 \sigma_x + s^2 \sigma_y +2cs \tau_{xy} & -cs \sigma_x + cs \sigma_y + (c^2-s^2) \tau_{xy} \\ -cs \sigma_x + cs \sigma_y + (c^2-s^2) \tau_{xy} & s^2 \sigma_x + c^2 \sigma_y -2cs \tau_{xy} \end{bmatrix}
$$
이 수식을 다르게 정리하면 아래의 수식처럼 표현할 수 있다.
$$ \begin{equation} \begin{Bmatrix} \sigma_1 \\ \sigma_2 \\ \tau_{12} \end{Bmatrix}
= \begin{bmatrix} c^2 & s^2 & 2cs \\ s^2 & c^2 & -2cs \\ -cs & cs & c^2-s^2 \end{bmatrix}
\begin{Bmatrix} \sigma_x \\ \sigma_y \\ \tau_{xy} \end{Bmatrix} \tag{2.31} \end{equation} $$

여기에서 가운데 들어 있는 행렬을 변환 행렬 $ [T] $ 로 정의한다. 즉,
$$ \begin{equation} [T] = \begin{bmatrix} c^2 & s^2 & 2cs \\ s^2 & c^2 & -2cs \\ -cs & cs & c^2-s^2 \end{bmatrix} \tag{2.32} \end{equation} $$

$ [T] $ 의 역행렬을 구하면 12축에서 xy축으로 변환할 수 있는 변환 행렬 $ [T] ^{-1} $ 을 구할 수 있다.
$$ [T]^{-1} = \begin{bmatrix} c^2 & s^2 & -2cs \\ s^2 & c^2 & 2cs \\ cs & -cs & c^2-s^2 \end{bmatrix} $$

변형률과 관련해서도 변환 행렬 $ [T] $ 를 사용할 수 있지만 전단 변형의 경우 아래와 같이 2를 나눠줘야 되므로 유의하자.
$$ \begin{equation} \begin{Bmatrix} \varepsilon_1 \\ \varepsilon _2 \\ \frac{\gamma_{12}}{2} \end{Bmatrix}
= [T] 
\begin{Bmatrix} \varepsilon_x \\ \varepsilon_y \\ \frac{\gamma_{xy}}{2} \end{Bmatrix} \tag{2.33} \end{equation} $$

2.5장에서 아래와 같은 수식을 구한 바 있다.

$$ \begin{equation} \begin{Bmatrix} \sigma_1 \\ \sigma_2 \\ \tau_{12} \end{Bmatrix}
= \begin{bmatrix} Q_{11} & Q_{12} & 0 \\ Q_{21} & Q_{22} & 0 \\ 0 & 0 & 2Q_{66} \end{bmatrix}
\begin{Bmatrix} \varepsilon_1 \\ \varepsilon_2 \\ \frac{\gamma_{12}}{2} \end{Bmatrix} \tag{2.26} \end{equation} $$

 

양변에 12축으로 표현된 응력과 변형률을 모두 xy축으로 변환시키면,
$$ [T] \begin{Bmatrix} \sigma_x \\ \sigma_y \\ \tau_{xy} \end{Bmatrix} = [ Q^* ] [T] \begin{Bmatrix} \varepsilon_x \\ \varepsilon_y \\ \frac{\gamma_{xy}}{2} \end{Bmatrix} $$
$$ \begin{equation} \begin{Bmatrix} \sigma_x \\ \sigma_y \\ \tau_{xy} \end{Bmatrix} = [T]^{-1} [ Q^* ] [T] \begin{Bmatrix} \varepsilon_x \\ \varepsilon_y \\ \frac{\gamma_{xy}}{2} \end{Bmatrix} \tag{2.34} \end{equation} $$

여기에서
$$ [Q^*] = \begin{bmatrix} Q_{11} & Q_{12} & 0 \\ Q_{21} & Q_{22} & 0 \\ 0 & 0 & 2Q_{66} \end{bmatrix} $$
이다.

그러면,

$$ \begin{equation} \begin{Bmatrix} \sigma_x \\ \sigma_y \\ \tau_{xy} \end{Bmatrix} = \begin{bmatrix} \bar{Q}_{11} & \bar{Q}_{12} & \bar{Q}_{16} \\ \bar{Q}_{12} & \bar{Q}_{22} & \bar{Q}_{26} \\ \bar{Q}_{16} & \bar{Q}_{26} & \bar{Q}_{66} \end{bmatrix} \begin{Bmatrix} \varepsilon_x \\ \varepsilon_y \\ \gamma_{xy} \end{Bmatrix} \tag{2.35} \end{equation} $$

 

가 되고, 여기에서

$$ \begin{align} \begin{split}
& \bar{Q}_{11} = Q_{11}c^4 + Q_{22}s^4 + 2(Q_{12}+2Q_{66})s^2c^2 \\
& \bar{Q}_{12} = (Q_{11} + Q_{22} - 4Q_{66}) s^2c^2 + Q_{12} (c^4 + s^4) \\
& \bar{Q}_{22} = Q_{11}s^4 + Q_{22}c^4 +2(Q_{12} + 2Q_{66})s^2c^2 \\
& \bar{Q}_{16} = (Q_{11}-Q_{12}-2Q_{66})c^3s-(Q_{22}-Q_{12}-2Q_{66})cs^3 \\
& \bar{Q}_{26} = (Q_{11}-Q_{12}-2Q_{66})cs^3-(Q_{22}-Q_{12}-2Q_{66})c^3s \\
& \bar{Q}_{66} = (Q_{11}+Q_{22}-2Q_{12}-2Q_{66})s^2c^2+Q_{66}(s^4+c^4)
\end{split} \tag{2.36} \end{align} $$

이다.

또는 아래와 같은 형식으로 표현할 수도 있다.

$$ \begin{equation} \begin{Bmatrix} \varepsilon_x \\ \varepsilon_y \\ \gamma_{xy} \end{Bmatrix} = \begin{bmatrix} \bar{S}_{11} & \bar{S}_{12} & \bar{S}_{16} \\ \bar{S}_{12} & \bar{S}_{22} & \bar{S}_{26} \\ \bar{S}_{16} & \bar{S}_{26} & \bar{S}_{66} \end{bmatrix} \begin{Bmatrix} \sigma_x \\ \sigma_y \\ \tau_{xy} \end{Bmatrix} \tag{2.37} \end{equation} $$

 

여기에서 $ [ \bar{S} ] = [ \bar{Q} ] ^{-1} $ 이고,

$$ \begin{align} \begin{split}
& \bar{S}_{11} = S_{11}c^4 + (2S_{12}+S_{66})s^2c^2 +S_{22}s^4 \\
& \bar{S}_{12} = S_{12}(s^4+c^4) + (S_{11} + S_{22} - S_{66}) s^2c^2 \\
& \bar{S}_{22} = S_{11}s^4 + (2S_{12} + S_{66})s^2c^2 + S_{22}c^4 \\
& \bar{S}_{16} = (2S_{11} - 2S_{12} -S_{66})sc^3 - (2S_{22} - 2S_{12} -S_{66})s^3c \\
& \bar{S}_{26} = (2S_{11} - 2S_{12} - S_{66})s^3c-(2S_{22} - 2S_{12} -S_{66})sc^3 \\
& \bar{S}_{66} = 2(2S_{11} + 2S_{22} -4S_{12} -S_{66})s^2c^2 + S_{66}(s^4+c^4)
\end{split} \tag{2.38} \end{align} $$

가 된다.

라미나의 off-axis 모듈러스를 구하기 위하여 아래와 같은 시험을 시행한다고 하자.

그림 2.14

그러면 x방향으로의 탄성 계수는 아래와 같이 구할 수 있다.

$$ \begin{equation} E_x = \frac{\sigma_x}{\varepsilon_x} = \frac{\sigma_x}{\bar{S}_{11} \sigma_x} = \frac{1}{\bar{S}_{11}} \tag{2.39} \end{equation} $$

 

$ \bar{S}_{11} $ 을 위해서 구한 값으로 대입하면, 아래와 같은 결과를 얻을 수 있다. 마찬가지로, y 방향 탄성 계수와 전단 계수, 푸아송 비도 아래와 같이 구할 수 있다.

$$ \begin{align} \begin{split}
& E_x = \left [ \frac{1}{E_1}c^4 + \left ( \frac{1}{G_{12}}-\frac{2 \nu_{12}}{E_1} \right ) s^2 c^2 + \frac{1}{E_2} s^4 \right ] ^ {-1} \\
& E_y = \left [ \frac{1}{E_1}s^4 + \left ( \frac{1}{G_{12}}-\frac{2 \nu_{12}}{E_1} \right ) s^2 c^2 + \frac{1}{E_2} c^4 \right ] ^ {-1} \\
& G_{xy} = \left [ \frac{1}{G_{12}}(s^4+c^4) +4 \left ( \frac{1}{E_1} + \frac{1}{E_2} + \frac{2 \nu_{12}}{E_1} - \frac{1}{2G_{12}} \right ) s^2 c^2 \right ] ^{-1} \\
& \nu_{xy} = E_x \left [ \frac{\nu_{12}}{E_1}(s^4+c^4) - \left ( \frac{1}{E_1} + \frac{1}{E_2} - \frac{1}{G_{12}} \right ) s^2 c^2 \right ]
\end{split} \tag{2.40} \end{align} $$

 

아래의 그래프는 몇 가지 재료에 대하여 회전각 $ \theta $ 에 따른 탄성 계수와 전단 계수를 도시한 것이다.

그림 2.15 (1)

탄성 계수의 경우 0˚ 부근에서 급격한 감소가 일어나고 이후 전체 영역에서 낮은 값을 유지하는 것을 볼 수 있고,
전단 계수는 $ \theta = 45˚ $ 에서 최대, $ \theta = 0˚, 90˚ $ 에서 최소 값을 갖는다는 것을 알 수 있다.
따라서 단방향 특성을 갖는 복합재료의 경우 섬유를 수직으로 배치하여 다중 방향으로의 강성을 높이는 것이 필요하다.

 

off-axis 수직 응력에 의해 전단 변형률이 발생되는 것이나, off-axis 전단 응력에 의해 수직 변형률이 발생되는 것을 shear-coupling 효과라고 한다.

shear-coupling 효과는 다음과 같은 shear-coupling 비로 나타낼 수 있다.

1) $ \sigma_x \ne 0, \sigma_y=\tau_{xy}=0 $

식 (2.37) 에서, $ \varepsilon_x = \bar{S}_{11} \sigma_x, \gamma_{xy}=\bar{S}_{16} \tau_{xy}$ 이다. 따라서,

$$ \begin{align} \begin{split} & \eta_{x,xy}=\frac{\gamma_{xy}}{\varepsilon_x}=\frac{\bar{S}_{16}}{\bar{S}_{11}} \\
& =E_x \left [ \left ( \frac{2}{E_1} + \frac{2 \nu_{12}}{E_1} - \frac{1}{G_{12}} \right ) sc^3 - \left ( \frac{2}{E_2} + \frac{2 \nu_{12}}{E_1} - \frac{1}{G_{12}} \right ) s^3c \right ] \end{split} \tag{2.41} \end{align} $$

 

2) $ \tau_{xy} \ne 0, \sigma_x=\sigma_y=0 $

$$ \begin{align} \begin{split} & \eta_{xy,y}=\frac{\varepsilon_y}{\gamma_{xy}}=\frac{\bar{S}_{26}}{\bar{S}_{66}} \\
& =G_{xy} \left [ \left ( \frac{2}{E_1} + \frac{2 \nu_{12}}{E_1} - \frac{1}{G_{12}} \right ) s^3c - \left ( \frac{2}{E_2} + \frac{2 \nu_{12}}{E_1} - \frac{1}{G_{12}} \right ) sc^3 \right ] \end{split} \tag{2.42} \end{align} $$

 

마찬가지 방법으로 $ \eta_{xy,x}, \eta_{y,xy} $ 등의 수식도 유도할 수 있다.

 

그림 2.15 (2)

위의 그림에서 볼 수 있듯이, $ \eta_{x,xy} $ 의 값은 $ \theta $ 와 중간에 존재하는 최대 값에 따라 달라진다.

재료의 주축에 대해서는 coupling 효과가 없기 때문에 $ \theta=0˚ $ 또는 $ \theta=90˚ $ 일 경우 $ \eta_{x,xy} =0 $ 이다.

 

응력-변형률 관계식은 위에서 구한 off-axis 계수들을 사용하여 아래와 같이 표현할 수 있다.

$$ \begin{align}
& \varepsilon_x = \frac{1}{E_x} \sigma_x - \frac{\nu_{yx}}{E_y} \sigma_y + \frac{\eta_{xy,x}}{G_{xy}} \tau_{xy} \tag{2.43} \\
& \varepsilon_y = -\frac{\nu_{xy}}{E_x} \sigma_x + \frac{1}{E_y}  \sigma_y + \frac{\eta_{xy,y}}{G_{xy}} \tau_{xy} \nonumber \\
& \tau_{xy} = \frac{\eta_{x,xy}}{E_x} \sigma_x + \frac{\eta_{y,xy}}{E_y}  \sigma_y + \frac{1}{G_{xy}} \tau_{xy} \nonumber
\end{align} $$

 

specially orthotropic 이나 general anisotropic 의 경우 모두 강성 행렬과 컴플라이언스 행렬이 대칭 행렬이기 때문에,

$ \bar{S}_{12} = \bar{S}_{21} $ 이고 따라서 $ \frac{\nu_{yx}}{E_y} = \frac{\nu_{xy}}{E_x} $ 이다.

 

식 (2.36) 이나 식 (2.38) 로 표현된 행렬식의 경우 라미나의 자세에 따른 영향을 알아보기가 어렵게 생겼다.

아래와 같이 Tsai & Pagano 가 제안한 아래의 수식을 이용할 경우 $ \theta $ 에 대한 영향을 쉽게 파악할 수 있다.

 

$$ \begin{align} \begin{split}
& \bar{Q}_{11} = \mathcal{U}_1 + \mathcal{U}_2 \cos 2 \theta + \mathcal{U}_3 \cos 4 \theta \\
& \bar{Q}_{12} = \mathcal{U}_4 - \mathcal{U}_3 \cos 4 \theta \\
& \bar{Q}_{22} = \mathcal{U}_1 - \mathcal{U}_2 \cos 2 \theta + \mathcal{U}_3 \cos 4 \theta \\
& \bar{Q}_{16} = \frac{\mathcal{U}_2}{2} \sin 2 \theta + \mathcal{U}_3 \sin 4 \theta \\
& \bar{Q}_{26} = \frac{\mathcal{U}_2}{2} \sin 2 \theta - \mathcal{U}_3 \sin 4 \theta \\
& \bar{Q}_{66} = \frac{1}{2} (\mathcal{U}_1 - \mathcal{U}_4) - \mathcal{U}_3 \sin 4 \theta
\end{split} \tag{2.44} \end{align} $$

 

여기에서 $ \mathcal{U}_1 $ ~ $ \mathcal{U}_4 $ 는 불변값(invariant) 으로,

$$ \begin{align} \begin{split}
& \mathcal{U}_1 = \frac{1}{8}(3Q_{11}+3Q_{22}+2Q_{12}+4Q_{66}) \\
& \mathcal{U}_2 = \frac{1}{2}(Q_{11}-Q_{22}) \\
& \mathcal{U}_3 = \frac{1}{8}(Q_{11}+Q_{22}-2Q_{12}-4Q_{66}) \\
& \mathcal{U}_4 = \frac{1}{8}(Q_{11}+Q_{22}+6Q_{12}-4Q_{66})
\end{split} \tag{2.45} \end{align} $$

이다.

 

비슷하게 컴플라이언스 행렬 요소인 $ \bar{S}_{11} $ ~ $ \bar{S}_{66} $ 도 라미나의 방향각 $ \theta $ 에 대한 식으로 표현할 수 있다.

불변값 표현은 그래프로 표현할 경우 모어의 원과 유사한 형식으로 표현이 가능하다. (여기선 생략한다.)