2.5 Specially Orthotropic Lamina

라미나는 섬유와 바탕재(matrix)로 구성되어 있으며 복합 재료 구조물을 만드는데 필요한 기본 블록이라고 할 수 있다. 라미나를 해석할 때에는 보통 2차원의 평면 응력 상태에 놓여 있는 것으로 생각한다.

그림 1.40

평면 응력 상태에서 응력과 변형률 관계는 다음과 같다.
$$\begin{equation} \begin{Bmatrix} \varepsilon_1 \\ \varepsilon_2 \\ \gamma_{12} \end{Bmatrix} = \begin{bmatrix} S_{11} & S_{12} & 0 \\ S_{21} & S_{22} & 0 \\ 0 & 0 & S_{66} \end{bmatrix} \begin{Bmatrix} \sigma_1 \\ \sigma_2 \\ \tau_{12} \end{Bmatrix} \tag{2.24} \end{equation}$$
여기에서,
$$\begin{align} \begin{split} & S_{11}=\frac{1}{E_1}, \quad S_{22}=\frac{1}{E_2}, \\ & S_{12}=S_{21}=-\frac{\nu_{21}}{E_2}=-\frac{\nu_{12}}{E_1}, \quad S_{66}=\frac{1}{G_{12}} \end{split} \tag{2.25} \end{align}$$
이것으로 5개의 non-zero 값 중 독립 변수는 4개를 갖고 있음을 알 수 있다.

위의 식을 거꾸로 표현하면 아래와 같이 강성 행렬을 구할 수 있다.
$$\begin{equation} \begin{Bmatrix} \sigma_1 \\ \sigma_2 \\ \tau_{12} \end{Bmatrix} = \begin{bmatrix} Q_{11} & Q_{12} & 0 \\ Q_{21} & Q_{22} & 0 \\ 0 & 0 & 2Q_{66} \end{bmatrix} \begin{Bmatrix} \varepsilon_1 \\ \varepsilon_2 \\ \frac{\gamma_{12}}{2} \end{Bmatrix} \tag{2.26} \end{equation}$$
여기에서,
$$\begin{align} \begin{split} & Q_{11} = \frac{S_{22}}{S_{11} S_{22} - S_{12}^2} = \frac{E_1}{1 - \nu_{12} \nu_{21}} \\ & Q_{12} = - \frac{S_{12}}{S_{11} S_{22} - S_{12}^2} = \frac{\nu_{12} E_2}{1 - \nu_{12} \nu_{21}} = Q_{21} \\ & Q_{22} = \frac{S_{11}}{S_{11} S_{22} - S_{12}^2} = \frac{E_2}{1 - \nu_{12} \nu_{21}} \\ & Q_{66} = \frac{1}{S_{66}} = G_{12} \end{split} \tag{2.27} \end{align}$$

아래 그림과 같이 재료 섬유가 수직으로 교차하여 직조된 라미나를 “balanced orthotropic” 라미나라고 한다.

그림 2.10

 

이 경우 1, 2축에 대해 모두 대칭성을 갖기 때문에,
$$E_1 = E_2, \quad Q_{11} = Q_{22}, \quad S_{11} = S_{22}$$

가 성립하며, 강성 및 컴플라이언스 행렬의 독립 변수는 3개로 줄어들게 된다.