2.4 Orthotropic and Isotropic Engineering Constants

 

2.3 장에서 여러 재료들에 대한 강성 행렬에 대해 공부하였다.

그런데 강성 행렬의 성분들인 $ C_{ij} $ 의 값들을 측정하는 것은 현실적으로 어려우며, 대신 Young's modulus 나 전단 계수 (shear modulus), 푸아송 비와 같은 "engineering constants" 들을 주로 측정하게 된다.

 

1) specially orthotropic 재료

그림 2.8

그림 2.8 (a) 와 같이 섬유 방향으로 응력을 가하는 단축 인장 시험을 실시했다고 해 보자.

그러면 $ \sigma_1 $ 외의 나머지 응력들은 0 이 되고, 재료에 부착한 3축 스트레인 게이지로부터 3방향 변형률인 $ \varepsilon_1 $, $ \varepsilon_2 $, $ \varepsilon_3 $ 를 측정할 수 있다.

이제 가해준 응력과 측정 값들로부터 재료 상수 $ E_1 $, $ \nu_{12} $, $ \nu_{13} $ 을 얻을 수 있다.

$$ \begin{align} \begin{split}
& \varepsilon_1 = \frac{\sigma_1}{E_1} \\
& \varepsilon_2 = -\nu_{12} \varepsilon_1 = -\frac{\nu_{12} \sigma_1}{E_1} \\
& \varepsilon_3 = -\nu_{13} \varepsilon_1 = -\frac{\nu_{13} \sigma_1}{E_1} \\
& \gamma_{12} = \gamma_{23} = \gamma_{13} = 0
\end{split} \end{align} $$

 

여기에서 푸아송 비 $ \nu_{ij} = -\varepsilon_j / \varepsilon_i $ 로, $ i $ 방향 응력이 가해졌을 때 재료가 $ j $ 방향으로 변형되는 정도를 나타낸다.

 

다음으로 그림 2.8 (b) 와 같이 2축 방향으로 인장 시험을 실시하면, 아래와 같은 결과를 얻을 수 있다.

$$ \begin{align} \begin{split}
& \varepsilon_2 = \frac{\sigma_2}{E_2} \\
& \varepsilon_1 = -\nu_{21} \varepsilon_2 = -\frac{\nu_{21} \sigma_2}{E_2} \\
& \varepsilon_3 = -\nu_{23} \varepsilon_2 = -\frac{\nu_{23} \sigma_2}{E_2} \\
& \gamma_{12} = \gamma_{23} = \gamma_{13} = 0
\end{split} \end{align} $$

 

이제 그림 2.8 (c) 와 같이 평면12에 대하여 순수 전단 응력을 가해주면, 아래와 같은 결과를 얻을 수 있다.

$$ \begin{align} \begin{split}
& \gamma_{12} = \frac {\tau_{12}}{G_{12}} \\
& \varepsilon_1 = \varepsilon_2 = \varepsilon_3 = \gamma_{13} = \gamma_{23} = 0
\end{split} \end{align} $$

 

마찬가지로 3축 방향으로의 인장 시험이나 평면 13, 평면 23 에 대한 순수 전단 응력 시험 결과로부터도 위와 유사한 결과를 얻을 수 있다.

이제 식 (1)~(3) 의 결과를 행렬 형식으로 정리하면 아래와 같이 컴플라이언스 행렬을 구성할 수 있다.

위의 행렬 중에 파란색 박스 부분은 normal-shear coupling 이 없다는 것을 나타내고 있다. 재료를 재료의 주축 방향으로 위치시키면 위와 같이 normal-shear coupling 효과를 제거할 수 있다는 점에 유의하자.

 

만약 재료를 주축 방향이 아닌 임의의 방향으로 위치시킨 뒤에 위에서 설명한 인장 시험/전단 시험을 시행할 경우에는 컴플라이언스 행렬 $ [S] $ 는 36개의 non-zero 값을 가진 fully-populated 행렬이 된다. (우리는 이것을 generally orthotropic 이라고 한다!)

 

물론 이 경우에도 독립 변수는 $ E_1 $,  $ E_2 $, $ E_3 $, $ \nu_{12} $, $ \nu_{23} $, $ \nu_{13} $, $ G_{12} $, $ G_{23} $, $ G_{13} $ 의 9 개로 동일하다.

 

2) specially orthotropic, transversely isotropic (2-3평면) 재료

이 재료는 2와 3축 방향으로 동일한 물성치를 갖기 때문에,

$$ E_2 = E_3, \quad \nu_{21}=\nu_{31}, \quad \nu_{23}=\nu_{32}, \quad G_{13}=G_{12} $$

이고,

$$ G_{23} = \frac {E_2}{2(1+\nu_{32})} $$

이다. 따라서, 컴플라이언스 행렬의 독립 변수는 5개로 줄어든다.

 

3) isotropic 재료

등방성 재료에서는 모든 방향의 물성치가 동일하므로 하첨자가 의미가 없어진다. 즉,

$$ E_1 = E_2 = E_3 = E, \quad \nu_{12}=\nu_{32}=\nu_{13}=\nu, \\
G_{12}=G_{23}=G_{13}=G=\frac{E}{2(1+\nu)} $$

가 되고, 독립 변수는 단 2개이다.