11. 2차 선형 상미분 방정식 - 해의 존재성, 유일성

2차 homogeneous 선형 ODE 의 일반형

$$ \begin{equation} y'' + p(x)y' + q(x)y = 0 \end{equation} $$

 

이 아래와 같이 2개의 초기 값을 갖는 문제에 대해 생각해 보자.

$$ \begin{equation} y(x_0)=K_0, \qquad y'(x_0)=K_1 \end{equation} $$

 

이와 같은 문제에서, 해의 존재성과 유일성에 대한 정리는 다음과 같다.

<정리1>
식 (1) 의 $p(x)$ 와 $q(x)$ 가 열린 구간 $I$ 에서 연속이고, $x_0$ 가 $I$ 구간 내에 있으면,
식 (1), (2) 로 구성된 초기 값 문제는 구간 $I$ 에서 유일한 해 $y(x)$ 를 갖는다.

식 (1) 의 일반 해는 선형 독립인 $y_1$, $y_2$ 의 합으로 이루어져 있는데, $y_1$, $y_2$ 의 선형 독립/선형 종속과 관련하여 아래의 정리가 있다.

<정리2>
식 (1) 의 두 해 $y_1$, $y_2$ 의 론스키언을 아래와 같이 정의하자.
$$ \begin{equation} W(y_1, y_2) = y_1 y_2' - y_2 y_1' \end{equation} $$
만약 구간 $I$ 안의 어떤 $x_0$ 에서 $W=0$ 이면, 두 해 $y_1$, $y_2$ 는 선형 종속이다.
또한, 어떤 점 $x_0$ 에서 $W=0$ 이면, 구간 $I$ 전체에서 $W=0$ 이다.
따라서 구간 안의 한 점 $x_1$ 에서의 $W \ne 0$ 이면, $y_1$, $y_2$ 는 선형 독립이다.

론스키언은 때때로 아래와 같이 정의하는 것이 더 유용할 때가 있다.

$$ \begin{equation} W=\left ( \frac{y_2}{y_1} \right ) ' y_1^2 \quad (y_1 \ne 0) \quad or \quad W=- \left ( \frac{y_1}{y_2} \right ) ' y_2^2 \quad (y_2 \ne 0) \tag{6*} \end{equation} $$

 

론스키언은 행렬식 표기를 이용하여 아래와 같이 정의할 수도 있다.

$$ W = \begin{vmatrix}
y_1 & y_2 \\
y_1' & y_2'
\end{vmatrix} = y_1y_2' - y_2y_1' $$

 

다음으로 일반 해에 대한 정리를 알아 보자.

<정리3>
열린 구간 $I$ 에서 $p(x)$ 와 $q(x)$ 가 연속이면, ODE (1) 은 $I$ 에서 일반 해를 갖는다.

<정리4>
ODE (1) 에서 계수 $p(x)$, $p(x)$ 가 열린 구간 $I$ 에서 연속이면, 모든 해 $y=Y(x)$ 는 basis 해 $y_1$, $y_2$ 에 대해 
$$ \begin{equation} Y(x) = C_1y_1(x) + C_2y_2(x) \end{equation} $$
의 꼴을 갖는다. 즉, (1) 은 일반 해의 꼴이 아닌 특수 해 (singular solution) 를 갖지 않는다.