02. 1차 상미분 방정식 - 변수 분리법

▣ 변수 분리법

     앞서 설명한 바와 같이, ODE 의 기본 형식은 아래와 같다.

$$F(x,y,y')=0$$

     또는

$$y'=f(x,y)$$

 

     이런 ODE 의 엄밀해를 구하는 데에는 여러 가지 방법이 있는데, 이 중 가장 간단하면서도 많은 경우에 적용할 수 있는 방법이 변수 분리법이다.

     많은 경우 ODE 는 $x$ 와 $y$ 를 양변에 분리하여 아래와 같은 형식으로 표현할 수 있다.

$$g(y)y'=f(x)$$

 

     이제 양변을 적분하면,

$$\int g(y)y' dx = \int f(x)dx +c$$

 

     여기에서 $y' dx$ 는 $dx$ 와 같으므로,

$$\int g(y) dy = \int f(x)dx +c$$

 

     가 된다. 이제 좌변은 y 에 대해, 우변은 x 에 대해 적분하면 된다.

 

<예제>

$$y'=-2xy, y(0)=1.8$$

 

     먼저 변수 분리를 위해, 식을 아래와 같이 정리한다.

$$\frac{dy}{y}=-2x dx$$

 

     이제 양변을 적분하면,

$$\int\frac{dy}{y}=-\int2x dx +c$$

$$\ln y=-x^2+\tilde{c}$$

$$y=ce^{-x^2}$$

 

     이제 문제에서 주어진 초기 값을 대입하면, $c$ 를 구할 수 있다.

$$y(0)=ce^0=c=1.8$$

 

     따라서 문제의 해는,

$$y=1.8e^{-x^2}$$

 

▣ 변수 분리법 (응용)

     일반적인 방법으로는 변수 분리가 안되지만 아래와 같은 형식으로 표현할 수 있는 경우에는 치환을 통해 변수 분리법 적용이 가능하다.

$$y'=f(\frac{y}{x})$$

 

     여기에서 $y/x=u$ 로 두면,

$$y=ux$$

$$y'=u'x+u$$

 

     이제 $y'=f(y/x)$ 에 대입하면,

$$u'x+u=f(u)$$

$$u'x=f(u)-u$$

$$\frac{du}{f(u)-u}=\frac{dx}{x}$$

 

     가 되어, 변수 분리법으로 풀이가 가능하다.

 

<예제>

$$2xyy'=y^2-x^2$$

 

     문제의 양변을 $2xy$ 로 나누면,

$$y'=\frac{y^2-x^2}{2xy}=\frac{y}{2x}-\frac{x}{2y}$$

 

     이제 $u=y/x$ 로 치환하여 정리하면,

$$u'x+u=\frac{u}{2}-\frac{1}{2u}$$

$$u'x==\frac{u}{2}-\frac{1}{2u}=\frac{-u^2-1}{2u}$$

$$\frac{2udu}{1+u^2}=-\frac{dx}{x}$$

 

     로 변수 분리가 가능해진다. 이제 양변을 적분하여 정리하면,

$$\ln (1+u^2)=-\ln \left | x \right \vert +c^* = \ln \left | \frac{1}{x} \right \vert +c^*$$

$$1+u^2+c/x$$

$$1+\left ( \frac{y}{x} \right ) ^2=\frac{c}{x}$$

 

     이제 양변에 $x^2$ 을 곱하여 정리하면,

$$x^2+y^2=cx$$

 

     즉,

$$\left ( x-\frac{c}{2} \right ) ^2 + y^2 = \frac{c^2}{4}$$

 

    가 된다.