1. 유체의 운동을 기술하는 두 가지 관점
1) 분자적 관점
유체를 개별 분자들의 결합으로 생각하며, 각각의 분자들이 유체역학적 지배방정식을 따른다고 가정한다.
가벼운 기체에 대해서는 적용이 가능하나, 다원자 기체나 액체에 대해서는 적용 불가능하다.
2) 연속체적 관점
유체가 연속체로 이루어져 있다고 생각하며, 개별 분자는 고려하지 않는다.
분자의 mean free path 가 유동장의 물리적 거리에 비해 충분히 작아야 사용 가능하며,
이 조건만 만족하면 가볍거나 무거운 기체, 액체에 모두 적용 가능하다.
연속체 가정이 성립하기 위한 충분 조건을 구체적으로 표현하면 아래와 같다.
$$ \frac{1}{n} \ll \epsilon \ll L^3 $$
여기에서 $\epsilon$ 은 연속체 개념을 적용하려는 유체 일부분의 부피이고,
$n$ 은 단위 부피당 분자의 갯수로 $\frac{1}{n}$ 은 분자 하나가 차지하는 부피이다.
$L$ 은 유동장 내에 존재하는 물리적 거리 중 가장 작은 것을 의미한다.
연속체 가정은 대부분의 유동 문제에 적용 가능하나 충격파가 발생하거나 대기권 외곽을 지나는 로켓 등
위의 충분 조건이 성립하지 않는 경우에는 적용이 어렵다.
2. 오일러 / 라그랑지 좌표계
1) 오일러 좌표계 : 공간 상에 검사 체적이 고정됨 (독립 변수 : $x$, $y$, $z$, $t$)
2) 라그랑지 좌표계 : 특정 유동 입자를 따라감 (독립 변수 : $x_0$, $y_0$, $z_0$, $t$)
유동 문제를 풀 때 어떤 좌표계를 선택할 지는 사용자의 선택에 달려 있으며,
좌표계 선택과 관계 없이 풀이 결과는 동일하다.
3. Material Derivative
$\alpha$ 를 어떤 물리량이라고 하면, 짧은 시간 $\delta t$ 가 지난 후의 변화량 $\delta \alpha$ 는 아래와 같이 쓸 수 있다.
$$ \delta \alpha = \frac{\partial \alpha}{\partial t}\delta t + \frac{\partial \alpha}{\partial x}\delta x + \frac{\partial \alpha}{\partial y}\delta y + \frac{\partial \alpha}{\partial z}\delta z $$
이 수식을 정리하면 아래와 같다.
$$ \frac{\delta \alpha}{\delta t} = \frac{\partial \alpha}{\partial t} + \frac{\delta x}{\delta t} \frac{\partial \alpha}{\partial x} + \frac{\delta y}{\delta t} \frac{\partial \alpha}{\partial y} + \frac{\delta z}{\delta t} \frac{\partial \alpha}{\partial z} $$
여기에서 $\delta t \rightarrow 0$ 이면 $\frac{\delta x}{\delta t} \rightarrow u$, $\frac{\delta y}{\delta t} \rightarrow v$, $\frac{\delta z}{\delta t} \rightarrow w$ 가 되고, 이 때의 $\frac{\delta \alpha}{\delta t}$ 를 $\frac{D \alpha}{D t}$ 로 쓰기로 한다. 즉,
$$ \frac{D \alpha}{D t} = \frac{\partial \alpha}{\partial t} + u \frac{\partial \alpha}{\partial x} + v \frac{\partial \alpha}{\partial y} + w \frac{\partial \alpha}{\partial z} $$
또는 벡터 형식으로 표현하면,
$$ \frac{D \alpha}{D t} = \frac{\partial \alpha}{\partial t}+(\mathbf{u}\cdot \mathbf{\nabla}) \alpha $$
텐서 형식(인덱스 형식)으로 표현하면,
$$ \frac{D \alpha}{D t} = \frac{\partial \alpha}{\partial t}+u_k \frac{\partial \alpha}{\partial x_k} $$
이다. 여기에서 $\frac{D \alpha}{Dt}$ 를 material derivative 라고 한다. $\frac{D \alpha}{Dt}$ 는 라그랑지 좌표계 관점에서 특정 유체 덩어리를 따라가며 발생되는 $\alpha$ 의 총량 변화량을 의미한다. 이 변화량을 기술하기 위하여, 오일러 좌표계 관점에서의 기술 방법인 $\partial \alpha / \partial t$ 나 $\partial \alpha / \partial x_k$ 를 이용한다.
4. 검사 체적 (Control Volume)
유체 역학에서 검사 체적을 설정하는 방법에는 크게 두 가지 방법이 있다. 각자 장단점이 있고, 당연하게도 어느 것을 이용하든 결과는 동일하다.
1) 세 변의 길이가 $\delta x$, $\delta y$, $\delta z$ 인 평행 육면체
검사 체적 안의 물리량에 대해 테일러 급수 전개를 이용하여 각 변에서의 물리량을 구한다.
2) 임의의 모양을 가지고 있는 체적
검사 체적 안의 물리량을 부피 적분을 통해 구한다. 예를 들어 검사 체적 내의 질량을 $\int_V \rho\ dV$ 와 같이 구한다.