2.2 Momentum Theory Analysis in Hovering Flight
모멘텀 이론은 제자리 비행 중인 헬리콥터를 해석하는 가장 간단한 이론이다.
아래 그림과 같이 제자리 비행 중인 헬리콥터를 생각하자.
여기에서, 0 은 로터 위의 far upstream, 1은 로터 바로 위, 2는 로터 바로 아래, ∞은 로터 아래의 far wake 위치를 의미한다.
로터 아래의 ∞ 과 2 위치에서의 연속 방정식을 사용하면 아래와 같은 식을 유도할 수 있다.
$$ \begin{equation} \dot{m} = \iint_{\infty} \rho \vec{V} \cdot d \vec{S} = \iint_{2} \rho \vec{V} \cdot d \vec{S} \tag{2.4} \end{equation} $$
위 식은 아래와 같이 간단하게 표현 가능하다.
$$ \begin{equation} \dot{m} = \rho A_\infty w = \rho A_2 v_i = \rho A v_i \tag{2.5} \end{equation} $$
이제 0 과 ∞ 위치에서의 유체의 운동량 차이가 로터가 유체에 가하는 힘과 같으므로, 아래의 식이 성립한다.
$$ \begin{equation} - \vec{F} = T = \iint_{\infty} \rho( \vec{V} \cdot d \vec{S} ) \vec{V} - \iint_{0} \rho( \vec{V} \cdot d \vec{S} ) \vec{V} \tag{2.6} \end{equation} $$
여기에서 $T$ 는 추력이고, far upstream 인 0 의 위치에서는 유체의 운동량이 없으므로, 식 (2.6) 의 두번째 항은 무시가 가능하다. 따라서, 식 (2.6) 은 아래와 같이 단순화할 수 있다.
$$ \begin{equation} T = \iint_{\infty} \rho( \vec{V} \cdot d \vec{S} ) \vec{V} = \dot{m}w \tag{2.7} \end{equation} $$
0 과 ∞ 위치에서의 에너지 보존을 고려하면 아래와 같다.
$$ \begin{equation} T v_i = \iint_{\infty} \frac{1}{2} \rho( \vec{V} \cdot d \vec{S} ) \vec{V}^2 - \iint_{0} \frac{1}{2} \rho( \vec{V} \cdot d \vec{S} ) \vec{V}^2 \tag{2.8} \end{equation} $$
위 식은 식 (2.7) 과 유사하게 아래와 같이 단순화할 수 있다.
$$ \begin{equation} T v_i = \iint_{\infty} \rho( \vec{V} \cdot d \vec{S} ) \vec{V} = \frac{1}{2} \dot{m}w^2 \tag{2.9} \end{equation} $$
식 (2.7) 과 식 (2.9) 로 부터, 다음이 성립한다.
$$ \begin{equation} v_i = \frac{1}{2}w \tag{2.10} \end{equation} $$
식 (2.10) 과 연속 방정식으로부터,
$$ \begin{equation} \frac{A_{\infty}}{A} = \frac{1}{2} \tag{2.12} \end{equation} $$
식 (2.12) 는 아래와 같이 쓸 수도 있다.
$$ \begin{equation} r_{\infty} = \frac{R}{\sqrt{2}} \tag{2.13} \end{equation} $$
식 (2.13) 으로부터, 로터 반지름에 대한 wake 반지름의 크기는 $1 / \sqrt{2} = 0.707$ 이며, 이것을 wake contraction ratio 라고 부른다. 실제로는 유체의 점성과 nonuniform inflow 때문에 0.78 정도로 측정된다.
로터 추력은 식 (2.7) 로부터 아래와 같이 정리할 수 있다.
$$ \begin{equation} T = \dot{m}w = \dot{m}(2v_i) = 2(\rho A v_i)v_i = 2 \rho A v_i^2 \tag{2.14} \end{equation} $$
위 식을 정리하면, induced velocity $v_i$ 와 로터 디스크의 관계식을 유도할 수 있다.
$$ \begin{equation} v_h \equiv v_i = \sqrt {\frac{T}{2 \rho A}} = \sqrt{ \left ( \frac{T}{A} \right ) \frac{1}{2 \rho}} \tag{2.15} \end{equation} $$
식 (2.15) 에서는 헬리콥터 해석에서 아주 중요한 파라미터인 disk loading 이 나온다. (disk loading = $T/A$)
제자리 비행을 하기 위해 단위 시간당 로터가 유체에 해주는 일, 즉 power 는 아래와 같이 계산된다.
$$ \begin{equation} P = T v_i \equiv T v_h = T \sqrt {\frac{T}{2 \rho A}} = \frac{T^{3/2}}{\sqrt{2 \rho A}} \tag{2.16} \end{equation} $$
또는, 아래와 같이 쓸 수도 있다.
$$ \begin{equation} P = T v_i = 2 \dot{m} v_i^2 = 2 (\rho A v_i) v_i^2 = 2 \rho A v_i^3 \tag{2.17} \end{equation} $$
이 식으로부터 제자리 비행에 필요한 파워는 induced velocity 의 3제곱에 비례하는 것을 알 수 있다. 추력이 정해진 경우에 최소한의 출력으로 제자리 비행을 하고 싶은 경우에는 induced velocity 가 작아야 한다. 이 경우 로터를 통과하는 mass flow rate 를 크게 하기 위해서는 로터의 면적이 커져야 한다.
로터를 통과하는 유체의 압력 차이를 알기 위하여 Bernoulli 방정식을 사용할 수 있다.
먼저, 위치 0 에서 1 사이의 유체에 Bernoulli 방정식을 적용하면,
$$ \begin{equation} p_0 = p_{\infty} = p_1 + \frac{1}{2} \rho v_i^2 \tag{2.18} \end{equation} $$
다음으로, 위치 2 에서 ∞ 사이에 Bernoulli 방정식을 적용하면,
$$ \begin{equation} p_2 + \frac{1}{2} \rho v_i^2 = p_{\infty} + \frac{1}{2} \rho w^2 \tag{2.19} \end{equation} $$
로터 전후에서는 압력 차이가 존재하며, 이 값은 disk loading 과 같다. 즉,
$$ \begin{equation} \Delta p = p_2 - p_1 = \frac{T}{A} \tag{2.20} \end{equation} $$
이제 식 (2.18)-(2.20) 으로부터,
$$ \begin{equation} \frac{T}{A} = p_2 - p_1 = \left ( p_{\infty} + \frac{1}{2} \rho w^2 - \frac{1}{2} \rho v_i^2 \right ) - \left ( p_{infty} - \frac{1}{2} \rho v_i^2 \right ) = \frac{1}{2} \rho w^2 \tag{2.21} \end{equation} $$
식 (2.21) 로부터 로터의 disk loading 은 far wake 에서의 유체의 동압과 같다는 사실을 알 수 있다.
또한 위 식으로부터, 로터 바로 위와 아래의 압력은 다음과 같다.
$$ \begin{equation} p_1 = p_{\infty} - \frac{1}{2} \rho v_i^2 = p_{\infty} - \frac{1}{2} \rho \left ( \frac{w}{2} \right ) ^2 = p_{\infty} - \frac{1}{4} \left ( \frac{T}{A} \right ) \tag{2.22} \end{equation} $$
$$ \begin{equation} p_2 = p_0 + \frac{1}{2} \rho w^2 - \frac{1}{2} \rho \left ( \frac{w}{2} \right ) ^2 = p_0 + \frac{3}{4} \left ( \frac{T}{A} \right ) \tag{2.23} \end{equation} $$