1.3 Initial conditions

1.2 장에서, 단순 진동자의 일반해는 아래와 같았다.

$$ \begin{equation} x=A_1 \cos \omega_0 t + A_2 \sin \omega_0 t \tag{1.2.8} \end{equation} $$

 

위의 식에서 $A_1$ 과 $A_2$ 는 임의의 상수인데, 초기값 2개 (초기 변위 $x_0$, 초기 속도 $u_0$) 가 정의되어 있을 경우에는 아래와 같이 상수의 값이 결정된다.

$$ \begin{equation} x=x_0 \cos \omega_0 t + (u_0/ \omega_0) \sin \omega_0 t \tag{1.3.1} \end{equation} $$

 

혹은, 아래와 같이 쓸 수도 있다.

$$ \begin{equation} x=A \cos (\omega_0 t + \phi) \tag{1.3.2} \end{equation} $$

 

여기에서 $A$ 와 $\pi$ 는 아래와 같다.

$$ \begin{equation} A=[x_0^2+(u_0/\omega_0)^2]^{1/2} \quad \text{and} \quad \phi=\tan ^{-1} (-u_0/ \omega_0 x_0) \tag{1.3.3} \end{equation} $$

 

위의 식 (1.3.1) 이나 식 (1.3.2) 를 미분하면 속도 $u$ 와 가속도 $a$ 의 값을 구할 수 있으며, 아래 그림과 같이 변위에 대하여 90˚, 180˚ 의 위상차가 나타나는 것을 볼 수 있다.

그림 1.3.1